CES效用函数的数学推导

CES效用函数:\(U(x,y)=\frac{x^\delta}{\delta}+\frac{y^\delta}{\delta},\delta\le 1\)

当\(\delta=1\)时,得到完全替代效用函数:

\(U(x,y)=x+y\).

当\(\delta=0\)时,得到柯布道格拉斯效用函数:

单调变换得:\(U^*(x,y)=\frac{x^\delta-1}{\delta}+\frac{y^\delta-1}{\delta}=\frac{x^\delta+y^\delta-2}{\delta}\).

\(\frac{0}{0}\)型:\(\lim\limits_{\delta\to 0}U^*(x,y)=\lim\limits_{\delta\to 0}\frac{x^\delta lnx+y^\delta lny}{1}=lnx+lny\).

当\(\delta=-\infty\)时,得到完全互补效用函数:(经单调变换,\(x>0,y>0\)可化为\(x>1,y>1\))

单调变换得:\(U^*(x,y)=\frac{ln(x^\delta+y^\delta)}{\delta}\).

\(\lim\limits_{\delta\to-\infty}U^*(x,y)=\lim\limits_{\delta\to-\infty}\frac{ln(x^\delta+y^\delta)}{\delta}\).

\(\frac{\infty}{\infty}\)型:\(\lim\limits_{\delta\to-\infty}U^*(x,y)=\lim\limits_{\delta\to-\infty}\frac{ln(x^\delta+y^\delta)}{\delta}=\lim\limits_{\delta\to-\infty}\frac{x^\delta lnx+y^\delta lny}{x^\delta+y^\delta}\).

当\(x>y\)时,\(U^*(x,y)=\lim\limits_{\delta\to-\infty}\frac{(x/y)^\delta lnx+lny}{(x/y)^\delta+1}=lny\).

当\(x< y\)时,\(U^*(x,y)=\lim\limits_{\delta\to-\infty}\frac{lnx+(y/x)^\delta}{1+(y/x)^\delta}=lnx\).

当\(x=y\)时,\(U^*(x,y)=lnx=lny\).

因此,\(U^*(x,y)=min\{lnx,lny\}=min\{x,y\}\).(单调变换)

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公子小白

SOS团团员,非外星人、未来人、超能力者。。。

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